Question

3．正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₃=a₂+2a₁，若存在a_m，a_n，使得a_m•a_n=64a${\;}_{1}^{2}$，則$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值為2．

Answer 1

分析 求出公比為2，利用等比數(shù)列{a_n}中存在兩項(xiàng)a_m，a_n，使得a_ma_n=64a₁²，可得2^m+n-2=2⁶，化為m+n=8．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₃=a₂+2a₁，
∴q²-q-2=0，
∴公比為q=2，
∵等比數(shù)列{a_n}中存在兩項(xiàng)a_m，a_n，使得a_ma_n=64a₁²，a₁≠0，
∴2^m+n-2=2⁶，
∴m+n=8．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{1}{8}$（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$）=$\frac{1}{8}$（10+$\frac{n}{m}$+$\frac{9m}{n}$）≥$\frac{1}{8}$（10+6）=2，當(dāng)且僅當(dāng)n=3m=6時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．