Question

11．已知拋物線y²=8x與垂直x軸的直線l相交于A，B兩點，圓C：x²+y²=1分別與x軸正、負半軸相交于點P、N，且直線AP與BN交于點M
（1）求證：點M恒在拋物線上；
（2）求△AMN面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出直線AP，BN的方程，可得M的坐標，即可證明結(jié)論；
（2）求出三角形的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：設A（x₁，y₁），B（x₁，-y₁）（x₁＞0），
由題意，P（1，0），N（-1，0），
直線AP的方程為（x₁-1）y=y₁（x-1），
直線BN的方程為（x₁+1）y=-y₁（x+1），
聯(lián)立，解得x=$\frac{1}{{x}_{1}}$，y=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
∵y₁²=8x₁，∴y²=8x，
即點M恒在拋物線上；
（2）由（1）可得△AMN面積S=$\frac{1}{2}$|NP|（|y₁|+|y_M|）=|y₁|+|$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$|=|y₁|+|$\frac{8}{{y}_{1}}$|$≥4\sqrt{2}$，
當且僅當y₁=$±2\sqrt{2}$，即A（1，$±2\sqrt{2}$）時取等號，△AMN面積的最小值為4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線方程，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．