Question

19．已知函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，且滿足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x+5；函數(shù)g（x）=a^x（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（2）=$\frac{1}{4}$，且g[f（x）]≥k對(duì)x∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用關(guān)系式求出f（1），f（2），利用待定系數(shù)法求出f（x）；
（2）求出a的值，判斷g（f（x））的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出g（f（x））在[-1，1]上的最小值，從而得出k的范圍．

解答 解：（1）∵f（x+1）-f（x）=2x+5，
∴f（1）-f（0）=5，f（2）-f（1）=7，
又f（0）=1，∴f（1）=6，f（2）=13．
設(shè)f（x）=mx²+bx+c，
則$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{m+b+c=6}\\{4m+2b+c=13}\end{array}\right.$，解得m=1，b=4．
∴f（x）=x²+4x+1．
（2）∵g（2）=a²=$\frac{1}{4}$，∴a=$\frac{1}{2}$．
∴g[f（x）]=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}+4x+1}$，
∵f（x）=x²+4x+1在[-1，1]上單調(diào)遞增，g（x）是減函數(shù)，
∴g（f（x））在[-1，1]上是減函數(shù)，
g（f（x））在[-1，1]上的最小值為g（f（1））=g（6）=$\frac{1}{{2}^{6}}$=$\frac{1}{64}$．
∵g[f（x）]≥k對(duì)x∈[-1，1]恒成立，
∴k≤$\frac{1}{64}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)最值與恒成立問題，屬于中檔題．