Question

10．有一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，它的外接球的體積為$\frac{64\sqrt{2}π}{3}$．

Answer 1

分析 由三視圖可知該幾何體為四棱錐，由三視圖求出幾何元素的長度、判斷出位置關(guān)系，利用對應(yīng)的三棱柱確定外接球球心的位置，并求出球的半徑，利用球的體積積公式求解．

解答 解：由三視圖知該幾何體為如圖所示的四棱錐P-ABCD，
且PE⊥平面ABC，E、F、O分別是對應(yīng)邊的中點(diǎn)，底面ABCD是邊長是4的正方形，
∵AE=ED=PE=2，∴PA⊥PD，則E是△PAD外接圓的圓心，
由圖可得，四棱錐P-ABCD的外接球是直三棱柱的外接球，
∴外接球的球心是O，則OP=OC=OA=OB=OD=2$\sqrt{2}$，
∴幾何體的外接球的體積S=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{4}{3}$π×$（2\sqrt{2}）^{3}$=$\frac{64\sqrt{2}π}{3}$．
故答案為：$\frac{64\sqrt{2}π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了四棱錐與三棱柱的外接球的性質(zhì)及其體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．