Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SA⊥底面ABCD，M為SD的中點(diǎn)，且SA=AD=AB．
（1）求證：AM⊥SC；
（2）求直線SD與平面ACM所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出CD⊥平面SAD，從而得到AM⊥CD，再由AM⊥SD，能證明AM⊥SC．
（2）設(shè)SA=AD=AB=2，設(shè)點(diǎn)D到平面ACM的距離為h，利用等積法能求出h=

2

3

3

．由此能求出直線SD與平面ACM所成角的正弦值．

解答： （1）證明：∵CD⊥AD，CD⊥SA，∴CD⊥平面SAD，
又AM?平面SAD，∴AM⊥CD，
又∵SA=AD，M為SD中點(diǎn)，
∴AM⊥SD，∴AM⊥平面SCD，
又SC?平面SCD，
∴AM⊥SC．
（2）設(shè)SA=AD=AB=2，
則AM=

2

，CM=

6

，
∴S△ACM=

1

2

AM•CM=

3

，
又S△ADM=

1

2

AM•DM=1，
設(shè)點(diǎn)D到平面ACM的距離為h，
則V_C-ADM=V_D-ACM，
∴

1

3

S△ADM×CD=

1

3

S△ACM×h，
解得h=

2

3

3

．
設(shè)SD與平面ACM所成角為θ，
sinθ=

h

DM

=

6

3

．
∴直線SD與平面ACM所成角的正弦值為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．