Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-

a

2

lnx
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求證e2(

π

-

e

)＞(

π

e

)

e

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=1-

a

2x

=

2x-a

2x

，分a≤0，a＞0兩種情況討論，然后在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0即可；
（2）要證e2(

π

-

e

)＞(

π

e

)

e

，只證lne2(

π

-

e

)＞ln(

π

e

)

e

，即證2

π

-

e

lnπ-

e

＞0，令x=

π

，則2x-

e

lnx²-

e

＞0，亦只證x-

e

lnx-

e

2

＞0，構(gòu)造函數(shù)利用（1）問的結(jié)論可證；

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
f′（x）=1-

a

2x

=

2x-a

2x

，
當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當a＞0時，由f′（x）＞0，得x＞

a

2

，f（x）的遞增區(qū)間是（

a

2

，+∞）．
綜上，當a≤0時，f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞）；當a＞0時，f（x）的遞增區(qū)間是（

a

2

，+∞）．
（2）要證e2(

π

-

e

)＞(

π

e

)

e

，只證lne2(

π

-

e

)＞ln(

π

e

)

e

，即證2

π

-

e

lnπ-

e

＞0，
令x=

π

，則2x-

e

lnx²-

e

＞0，亦只證x-

e

lnx-

e

2

＞0，
令g（x）=x-

e

lnx-

e

2

，由（1）知g（x）在（

e

，+∞）上遞增，
又

π

＞

e

，
∴g（

π

）＞g（

e

），即

π

-

e

ln

π

-

e

2

＞

e

-

e

ln

e

-

e

2

=0．
故e2(

π

-

e

)＞(

π

e

)

e

．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式，合理變形恰當構(gòu)造函數(shù)是證明不等式的關(guān)鍵．