Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若對(duì)任意都恒成立，求證：a的最大值大于8．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）將問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分離參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和值域，從而求參數(shù)范圍；

（2）將恒成立問題，經(jīng)過分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的問題，從而進(jìn)行證明.

（1）由

可得，

函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

也等價(jià)于 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根（顯然不是根）

令，則，

在單減，上單減，上單增；

且時(shí)，，

時(shí)，，

有兩解，需，即，

下證是有兩解的必要條件：

當(dāng)時(shí)，，，，

在上有且只有一個(gè)解，

又因?yàn)?/span>，.

在上有且只有一個(gè)解，

綜上所述：；

（2）因?yàn)?/span>等價(jià)于：

等價(jià)于對(duì)恒成立，

①當(dāng)或1時(shí)，滿足；

②當(dāng)時(shí)，顯然大于0，

故恒成立，

等價(jià)于恒成立，

等價(jià)于恒成立.

而欲證

即證即可.

就是證：

也就是證明：

，對(duì)任意的恒成立.

先證：，．

令，．

因?yàn)?/span>，

所以在上單調(diào)遞增，

則有，

，．

所以，要證，，

需證，，

即證恒成立

也就是證：恒成立

而顯然成立，

故恒成立

即恒成立

，對(duì)任意的恒成立.

成立

故成立，即證.