Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若是函數(shù)的極值點，1為函數(shù)的一個零點，求函數(shù)在上的最小值.

（2）當時，函數(shù)與軸在內(nèi)有兩個不同的交點，求的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】試題分析: （1）由題，且，列式解得， ，再求導(dǎo)求函數(shù)的最小值即可.

（2）由，得，易知， ； 時， ；于是，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，分和兩種情況討論可得的取值范圍是.

試題解析：（1），∵是函數(shù)的極值點，

∴，

∵1是函數(shù)的零點，得，

由，解得， ，

∴， ，

令， ，得；

令得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的最小值為.

（2）當時， ，則，

由得，該方程的判別式，

因為，所以由，得，易知， ；

時， ；于是，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

若，則在上單調(diào)遞減，不符合題意，所以，

當時， ，又由函數(shù)與軸在內(nèi)有兩個不同的交點，

所以，且，

，解得，

因為，

所以，

令，知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，

所以，即，解得，

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.

點晴：本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，函數(shù)零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理. 恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理．也可構(gòu)造新函數(shù)然后利用導(dǎo)數(shù)來求解.注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.