【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，且橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓相交于兩點，求面積的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（1）由橢圓定義得，又橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，由橢圓幾何條件得，解得， （2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式求得，再利用點到直線距離公式求高，根據(jù)三角形面積公式得．最后利用基本不等式求最值.

試題解析：解：（Ⅰ）由已知，設橢圓的方程為．

∵橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，

∴．

又，∴．

由，得．

∴橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）設．

聯(lián)立消去，得．

此時有．

由一元二次方程根與系數(shù)的關系，得

， ．

∴．

∵原點到直線的距離，

∴．

由，得．又，∴據(jù)基本不等式，得

．

當且僅當時，不等式取等號．

∴面積的最大值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】當今信息時代，眾多高中生也配上了手機.某校為研究經(jīng)常使用手機是否對學習成績有影響，隨機抽取高三年級50名理科生的一次數(shù)學周練成績，用莖葉圖表示如下圖：

（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為經(jīng)常使用手機對學習成績有影響？

及格（）

不及格

合計

很少使用手機

經(jīng)常使用手機

合計

（2）從50人中，選取一名很少使用手機的同學記為甲和一名經(jīng)常使用手機的同學記為乙，解一道數(shù)列題，甲、乙獨立解決此題的概率分別為， ， ，若，則此二人適合結為學習上互幫互助的“師徒”，記為兩人中解決此題的人數(shù)，若，問兩人是否適合結為“師徒”？

參考公式及數(shù)據(jù)： ，其中.

0.10

0.05

0.025

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】四棱錐P﹣ABCD的頂點P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正視圖與側視圖都是腰長為a的等腰直角三角形．則在四棱錐P﹣ABCD的任意兩個頂點的連線中，互相垂直的異面直線共有 對．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】分別求適合下列條件的標準方程：

（1）實軸長為12，離心率為，焦點在x軸上的橢圓；

（2）頂點間的距離為6，漸近線方程為的雙曲線的標準方程。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2|x|﹣1．
（1）證明函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）在如圖所示的平面直角坐標系中作出函數(shù)f（x）的圖象．并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

（3）求函數(shù)f（x）當x∈[﹣2，4]時的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x），當x，y∈R時，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．當x＞0時，f（x）＞0
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）若f（1）= ，試求f（x）在區(qū)間[﹣2，6]上的最值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直角三角形中， ， ， ， 為線段上一點，且，沿邊上的中線將折起到的位置.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）當平面平面時，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù).

（1）若是函數(shù)的極值點，1為函數(shù)的一個零點，求函數(shù)在上的最小值.

（2）當時，函數(shù)與軸在內有兩個不同的交點，求的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】將一顆骰子投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax－by=0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為____________．

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同步練習冊答案