【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，且橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓相交于兩點，求面積的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（1）由橢圓定義得，又橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，由橢圓幾何條件得，解得， （2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式求得，再利用點到直線距離公式求高，根據(jù)三角形面積公式得．最后利用基本不等式求最值.

試題解析：解：（Ⅰ）由已知，設橢圓的方程為．

∵橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，

∴．

又，∴．

由，得．

∴橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）設．

聯(lián)立消去，得．

此時有．

由一元二次方程根與系數(shù)的關系，得

， ．

∴．

∵原點到直線的距離，

∴．

由，得．又，∴據(jù)基本不等式，得

．

當且僅當時，不等式取等號．

∴面積的最大值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】當今信息時代，眾多高中生也配上了手機.某校為研究經常使用手機是否對學習成績有影響，隨機抽取高三年級50名理科生的一次數(shù)學周練成績，用莖葉圖表示如下圖：

（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為經常使用手機對學習成績有影響？

及格（）

不及格

合計

很少使用手機

經常使用手機

合計

（2）從50人中，選取一名很少使用手機的同學記為甲和一名經常使用手機的同學記為乙，解一道數(shù)列題，甲、乙獨立解決此題的概率分別為， ， ，若，則此二人適合結為學習上互幫互助的“師徒”，記為兩人中解決此題的人數(shù)，若，問兩人是否適合結為“師徒”？

參考公式及數(shù)據(jù)： ，其中.

0.10

0.05

0.025

2.706

3.841

5.024

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】四棱錐P﹣ABCD的頂點P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正視圖與側視圖都是腰長為a的等腰直角三角形．則在四棱錐P﹣ABCD的任意兩個頂點的連線中，互相垂直的異面直線共有 對．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】分別求適合下列條件的標準方程：

（1）實軸長為12，離心率為，焦點在x軸上的橢圓；

（2）頂點間的距離為6，漸近線方程為的雙曲線的標準方程。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2|x|﹣1．
（1）證明函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）在如圖所示的平面直角坐標系中作出函數(shù)f（x）的圖象．并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

（3）求函數(shù)f（x）當x∈[﹣2，4]時的最大值與最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x），當x，y∈R時，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．當x＞0時，f（x）＞0
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）若f（1）= ，試求f（x）在區(qū)間[﹣2，6]上的最值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直角三角形中， ， ， ， 為線段上一點，且，沿邊上的中線將折起到的位置.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）當平面平面時，求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù).

（1）若是函數(shù)的極值點，1為函數(shù)的一個零點，求函數(shù)在上的最小值.

（2）當時，函數(shù)與軸在內有兩個不同的交點，求的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】將一顆骰子投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax－by=0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為____________．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案