Question

5．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥平面ABCD，AB=SD=2，BC=2$\sqrt{2}$點M為BC的中點
（1）證明；AC⊥平面SDM；
（2）求二面角B-SM-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D為坐標原點建立空間直角坐標系D-xyz，通過$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DS}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DM}$=0，及線面垂直的判定定理即得結論；
（2）所求值即為平面SMD的一個法向量與平面BSM的一個法向量的夾角的余弦值的絕對值的相反數(shù)，計算即可．

解答 （1）證明：由SD⊥平面ABCD，得SD⊥DA，SD⊥DC，
又底面ABCD為矩形，∴DA、DC、DS兩兩垂直，
以D為坐標原點建立空間直角坐標系D-xyz如圖，
由題可得A（2$\sqrt{2}$，0，0），B（2$\sqrt{2}$，2，0），C（0，2，0），S（0，0，2），M（$\sqrt{2}$，2，0），
∴$\overrightarrow{AC}$=（-2$\sqrt{2}$，2，0），$\overrightarrow{DS}$=（0，0，2），$\overrightarrow{DM}$=（$\sqrt{2}$，2，0），
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DS}$=0，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DM}$=-2$\sqrt{2}$$•\sqrt{2}$+2•2=0，
∴AC⊥DS，AC⊥DM，
又DS∩DM=D，∴AC⊥平面SDM；
（2）解：由（1）得$\overrightarrow{AC}$=（-2$\sqrt{2}$，2，0）為平面SMD的一個法向量，
設平面BSM的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MS}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x-2y+2z=0}\\{-\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴二面角B-SM-D的余弦值為-$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查空間中線面垂直的判定及求二面角的余弦值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．