Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+a{x}^{2}+bx（x≤1）}\\{c（{e}^{x-1}-1）（x≥1）}\end{array}\right.$，在x=0，x=$\frac{2}{3}$處存在極值
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點A，B，使得△AOB是以坐標(biāo)原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在y軸上，求實數(shù)c的取值范圍；
（3）當(dāng)c=e時，討論關(guān)于x的過程f（x）=kx（k∈R）的實根個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x＜1時，先對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，由題意知x=0，x=$\frac{2}{3}$是方程f′（x）=0的兩實根，由韋達定理可求出a，b的值．
（2）根據(jù)分段函數(shù)，分類討論，利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，結(jié)合函數(shù)思想即可求實數(shù)c的取值范圍．
（3）將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=k與y=f（x），將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題解決．

解答 解：（1）當(dāng)x＜1時，f′（x）=-3x²+2ax+b．
由極值點的必要條件可知x=0，x=$\frac{2}{3}$是方程f′（x）=0的兩根，
則0+$\frac{2}{3}$=$\frac{2a}{3}$，0×$\frac{2}{3}$=-$\frac{3}$，解得a=1，b=0．
（2）由（1）知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+{x}^{2}（x＜1）}\\{c（{e}^{x-1}-1）（x≥1）}\end{array}\right.$，
根據(jù)條件得A，B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè)A（-t，t³+t²），B（t，f（t）），（t＞0）．
若t＜1，則f（t）=-t³+t²，
由題意$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即-t²+（t³+t²）（-t³+t²）=0，此時t=0，不合題意，舍去；
若t≥1，則f（t）=c（e^t-1-1）．
由于AB的中點在y軸上，且∠AOB是直角，所以B點不可能在x軸上，即t≠1．
同理由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即-t²+（t³+t²）•c（e^t-1-1）=0，
∴c=$\frac{1}{（{e}^{t-1}-1）（t+1）}$．
由于函數(shù)g（t）=$\frac{1}{（{e}^{t-1}-1）（t+1）}$（t＞1）的值域是（0，+∞），
∴實數(shù)c的取值范圍是（0，+∞）
（3）當(dāng)c=e時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+{x}^{2}（x＜1）}\\{\frac{e}{x}（{e}^{x-1}-1）（x≥1）}\end{array}\right.$．
當(dāng)x≥1時，f′（x）=$\frac{e}{{x}^{2}}$＞0，此時函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)，
如圖，又當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，f（x）取得極大值$\frac{1}{4}$，
由圖象知當(dāng)k∈（0，$\frac{1}{4}$）時，函數(shù)y=k與y=f（x）有3個不同的交點，即方程有3個實根．
故實數(shù)k的取值范圍為（0，$\frac{1}{4}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，以及研究方程根的個數(shù)問題，此類問題首選的方法是圖象法即構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)圖象解題，其次是直接求出所有的根．