Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，且A=60°，5sinB=3sinC
（1）若△ABC的面積為

15 3

4

，求a，b，c的長(zhǎng)；
（2）在（1）的條件下，若把三角形的每條邊都增加相同的長(zhǎng)度x（x＞0），則△ABC是什么三角形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷,三角形的面積公式

專題：解三角形

分析：（1）依題意，5sinB=3sinC，利用正弦定理可得5b=3c，再由A=60°，

1

2

bcsinA=

15 3

4

，可求得b與c，利用余弦定理可求得a；
（2）5＞

19

＞3，x＞0⇒5+x＞

19

+x＞3+x，通過計(jì)算（3+x）²+(x+

19

)2-（5+x）²=x²+（2

19

-4）x+3（x＞0）恒成立，可判斷△ABC是銳角三角形．

解答： 解：（1）∵在△ABC中，A=60°，5sinB=3sinC，
∴由正弦定理得：5b=3c，
又△ABC的面積為

15 3

4

，
∴

1

2

bcsinA=

15 3

4

，即

1

2

×

3

5

c²×

3

2

=

15 3

4

，
解得：c=5，b=3，
∴a²=b²+c²-2bccosA=25+9-2×5×3×

1

2

=19，
∴a=

19

．
（2）∵5＞

19

＞3，x＞0，
∴5+x＞

19

+x＞3+x，
又（3+x）²+(x+

19

)2-（5+x）²=9+19+6x+2

19

x+2x²-25-10x-x²=x²+（2

19

-4）x+3，
令f（x）=x²+（2

19

-4）x+3，設(shè)f（x）=0的兩個(gè)根分別為x₁、x₂，x₁+x₂=4-2

19

＜0，x₁•x₂=3＞0，
∴x₁＜0、x₂＜0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²+（2

19

-4）x+3＞0恒成立，即（3+x）²+(x+

19

)2＞（5+x）²恒成立，
∴△ABC是銳角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形形狀的判斷，（2）中判斷（3+x）²+(x+

19

)2-（5+x）²=x²+（2

19

-4）x+3（x＞0）恒成立是難點(diǎn)，更是關(guān)鍵，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分析運(yùn)算能力、邏輯思維能力，屬于難題．