Question

過拋物線y²=x的頂點(diǎn)O作兩條相互垂直的弦OA，OB，求△AOB面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）與x軸的交點(diǎn)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，0），直線l方程為 x=my+x₀，代入y²=x，根據(jù)OA⊥OB．求出m的值，然后表示出△AOB的面積，求解三角形面積的最小值即可．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）與x軸的交點(diǎn)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，0），直線l方程為 x=my+x₀，代入y²=x得
y²-my-x₀=0        ①，
y₁、y₂是此方程的兩根，
∴x₀=-y₁y₂，
∵x₁x₂+y₁y₂=y₁²y₂²+y₁y₂=y₁y₂（y₁y₂+1）=0，
∴y₁y₂=-1
∴x₀=1．
由方程①，y₁+y₂=m，y₁y₂=-1，且|OM|=x₀=1，
于是S_△AOB=

1

2

|OM||y₁-y₂|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

m2+4

≥1，
∴當(dāng)m=0時(shí)，△AOB的面積取最小值1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查三角形面積的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意拋物線性質(zhì)的合理運(yùn)用．