Question

10．函數(shù)f（x），x∈R滿足如下性質(zhì)：①f（x）+f（-x）=0；②f（$\frac{3}{4}$+x）=f（$\frac{3}{4}$-x），若f（1）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，f（2）=sinα（α∈（0，$\frac{π}{2}$）），則sin（$\frac{π}{4}$+α）=（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• C． $\frac{2\sqrt{10}}{10}$
• D． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 推導(dǎo)出f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x），由f（1）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，得f（2）=f（-1）=-f（1），由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵函數(shù)f（x），x∈R，滿足如下性質(zhì)：
f（x）+f（-x）=0，f（$\frac{3}{4}$+x）=f（$\frac{3}{4}$-x），
∴f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x），
∵f（1）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
f（2）=f（-1）=-f（1）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，（α∈（0，$\frac{π}{2}$）），
故cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則sin（$\frac{π}{4}$+α）=sin$\frac{π}{4}$cosα+cos$\frac{π}{4}$sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．