Question

已知f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）．用反證法證明方程f（x）=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法

專題：證明題,反證法

分析：假設(shè)f（x）=0 有負(fù)根 x₀，即 f（x₀）=0，根據(jù)f（0）=-1，可得 f（x₀）＞f（0）①，若-1＜x₀＜0，由條件可得f（x₀）＜f（0）=-1，這與①矛盾，若x₀＜-1，可得 f（x₀）＞0，這也與①矛盾．

解答： 證明：假設(shè)f（x）=0 有負(fù)根 x₀，且 x₀≠-1，即 f（x₀）=0．
根據(jù)f（0）=-1，可得 f（x₀）＞f（0）①． 
若-1＜x₀＜0，由a＞1，可知y=a^x是增函數(shù)，y=

x-2

x+1

在（-1，+∞）是增函數(shù)，可知函數(shù)f（x）=a^x+

x-2

x+1

在（-1，+∞）是增函數(shù)，可得f（x₀）＜f（0）=-1，這與①矛盾．
若x₀＜-1，則 ax0＞0，x₀-2＜0，x₀+1＜0，∴f（x₀）＞0，這與題目條件矛盾．
故假設(shè)不正確．
∴方程a^x+

x-2

x+1

=0 沒(méi)有負(fù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．