Question

19．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

單價x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
銷量y（件）	90	84	83	80	75	68

（Ⅰ）求線性回歸方程$\widehat{y}$=bx+a；
（Ⅱ）預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（Ⅰ）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是3.5元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？（利潤=銷售收入-成本）．
（參考公式與數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^{6}$x_iy_i=4066，$\sum_{i=1}^{6}$x${\;}_{i}^{2}$=434.2，$\sum_{i=1}^{6}$x_i=51.$\sum_{i=1}^{6}$y_i=480.$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．）

Answer 1

分析 （I）利用最小二乘法，結(jié)合已知中的數(shù)據(jù)，求出b，a的值，即可求得回歸直線方程；
（II）設(shè)工廠獲得的利潤為L元，建立利潤關(guān)于單價的函數(shù)，利用配方法可求工廠獲得的利潤最大．

解答 解：（I）∵$\sum_{i=1}^{6}$x_iy_i=4066，$\sum_{i=1}^{6}$x${\;}_{i}^{2}$=434.2，$\sum_{i=1}^{6}$x_i=51.$\sum_{i=1}^{6}$y_i=480．
∴$\overline{x}$=8.5，$\overline{y}$=80
∵b=$\frac{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{4066-6×8.5×80}{434.2-6×{8.5}^{2}}$=-20，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=80+20×8.5，
∴a=80+20×8.5=250
∴回歸直線方程$\hat{y}$=-20x+250；
（II）設(shè)工廠獲得的利潤為L元，
則L=（x-3.5）（-20x+250）=-20（x-8）²+405，
∴該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為8元，工廠獲得的利潤最大，最大值為405元．

點(diǎn)評 本題主要考查回歸分析，考查二次函數(shù)，考查運(yùn)算能力、應(yīng)用意識，屬于中檔題．