Question

9．在上海世博會期間，小紅計劃對事先選定的10個場館進行參觀．在她選定的10個場館中，有4個場館分布在A區(qū)，3個場館分布在B區(qū)，3個場館分布在C區(qū)．已知A區(qū)的每個場館的排隊時間為2小時，B區(qū)和C區(qū)的每個場館的排隊時間為1小時．參觀前小紅因事只能從這10個場館中隨機選定3個場館進行參觀．
（Ⅰ）求小紅每個區(qū)都參觀1個場館的概率；
（Ⅱ） 設小紅排隊時間總和為X（小時），求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出從10個場館中選三個的基本事件的總數(shù)，小紅每個區(qū)都參觀一個場館的事件包含的基本事件數(shù)，然后求解故小紅每個區(qū)都參觀1個場館的概率．
（Ⅱ）X的取值可能是3，4，5，6，分別對應沒有事件參觀A區(qū)場館，參觀一個A區(qū)場館，參觀兩個A區(qū)場館，參觀三個A區(qū)場館，分別求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）從10個場館中選三個，基本事件的總數(shù)為${C}_{10}^{3}=120$個，
小紅每個區(qū)都參觀一個場館的事件包含的基本事件數(shù)為${C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}=36$，
故小紅每個區(qū)都參觀1個場館的概率為$\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$．
（Ⅱ）X的取值可能是3，4，5，6，分別對應沒有事件參觀A區(qū)場館，參觀一個A區(qū)場館，參觀兩個A區(qū)場館，參觀三個A區(qū)場館，
$P（X=3）=\frac{2{C}_{3}^{3}+2{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，$P（X=4）=\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
$P（X=5）=\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，$P（X=6）=\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$．
所以X的分布列為：

X	3	4	5	6
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

E（X）=$3×\frac{1}{6}$+$4×\frac{1}{2}$$+5×\frac{3}{10}$$+6×\frac{1}{30}$=$\frac{21}{5}$．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查計算能力．