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(2012•杭州二模)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0 b>0)
的左、右焦點分別為F1,F2,漸近線分別為l1,l2,點P在第一 象限內且在l1上,若l2⊥PF1,l2∥PF2,則雙曲線的離心率是( 。
分析:由雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0 b>0)
的左、右焦點分別為F1,F2,漸近線分別為l1,l2,點P在第一 象限內且在l1上,知F1(-c,0)F2(c,0)P(x,y),由漸近線l1的直線方程為y=
b
a
x,漸近線l2的直線方程為y=-
b
a
x,l2∥PF2,知ay=bc-bx,由ay=bx,知P(
c
2
,
bc
2a
),由此能求出離心率.
解答:解:∵雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0 b>0)
的左、右焦點分別為F1,F2
漸近線分別為l1,l2,點P在第一 象限內且在l1上,
∴F1(-c,0)F2(c,0)P(x,y),
漸近線l1的直線方程為y=
b
a
x,漸近線l2的直線方程為y=-
b
a
x,
∵l2∥PF2,∴
y
x-c
=-
b
a
,即ay=bc-bx,
∵點P在l1上即ay=bx,
∴bx=bc-bx即x=
c
2
,∴P(
c
2
,
bc
2a
),
∵l2⊥PF1,
bc
2a
3c
2
•(-
b
a
)=-1
,即3a2=b2,
因為a2+b2=c2
所以4a2=c2,即c=2a,
所以離心率e=
c
a
=2.
故選B.
點評:本題考查雙曲線的簡單性質的應用,解題時要認真審題,仔細解答,注意直線和雙曲線位置關系的靈活運用.
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