(2012•杭州二模)設(shè)定義域?yàn)椋?,+∞)的單調(diào)函數(shù)f(x),對(duì)任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=6,若x0是方程f(x)-f′(x)=4的一個(gè)解,且x0∈(a,a+1)(a∈N*),則a=
1
1
分析:由題意可得f(x)-log2x為定值,設(shè)為t,代入可得t=4,進(jìn)而可得函數(shù)的解析式,化方程有解為函數(shù)F(x)=f(x)-f′(x)-4=log2x-
1
xln2
有零點(diǎn),易得F(1)<0,F(xiàn)(2)>0,由零點(diǎn)的判定可得答案.
解答:解:根據(jù)題意,對(duì)任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=6,
又由f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù),
則f(x)-log2x為定值,
設(shè)t=f(x)-log2x,則f(x)=t+log2x,
又由f(t)=6,可得t+log2t=6,
可解得t=4,故f(x)=4+log2x,f′(x)=
1
xln2
,
又x0是方程f(x)-f′(x)=4的一個(gè)解,
所以x0是函數(shù)F(x)=f(x)-f′(x)-4=log2x-
1
xln2
的零點(diǎn),
分析易得F(1)=-
1
ln2
<0,F(xiàn)(2)=1-
1
2ln2
=1-
1
ln4
>0,
故函數(shù)F(x)的零點(diǎn)介于(1,2)之間,故a=1,
故答案為:1
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷,涉及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì),屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(2012•杭州二模)如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,點(diǎn)M在邊DC上,點(diǎn)F在邊AB上,且DF⊥AM,垂足為E,若將△ADM沿AM折起,使點(diǎn)D位于D′位置,連接D′B,D′C得四棱錐D′-ABCM.
(Ⅰ)求證:AM⊥D′F;
(Ⅱ)若∠D′EF=
π
3
,直線D'F與平面ABCM所成角的大小為
π
3
,求直線AD′與平面ABCM所成角的正弦值.

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(2012•杭州二模)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0, b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,漸近線分別為l1,l2,點(diǎn)P在第一 象限內(nèi)且在l1上,若l2⊥PF1,l2∥PF2,則雙曲線的離心率是( 。

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8

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