Question

17．已知函數(shù)f（x），（x∈R）的圖象上任意一點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程為y=（x₀-1）（x₀²-4）（x-x₀）+f（x₀），那么f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-2）∪（1，2）．

Answer 1

分析 由題意，結(jié)合點(diǎn)斜式方程可得，f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x-1）（x²-4），令導(dǎo)數(shù)小于0，運(yùn)用二次不等式的解法，計(jì)算即可得到所求減區(qū)間．

解答 解：由圖象上任意一點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程為
y=（x₀-1）（x₀²-4）（x-x₀）+f（x₀），
由點(diǎn)斜式方程可得，
f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x-1）（x²-4），
由f′（x）＜0，即$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{{x}^{2}-4＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-1＜0}\\{{x}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{-2＜x＜2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{x＞2或x＜-2}\end{array}\right.$，
即1＜x＜2或x＜-2．
故答案為：（-∞，-2）∪（1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，注意運(yùn)用二次不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．