Question

在平面直角坐標系xOy中，點P是圓上一動點，x軸于點D.記滿足的動點M的軌跡為Γ.

(1)求軌跡Γ的方程；

(2)已知直線與軌跡Γ交于不同兩點A，B，點G是線段AB中點，射線OG交軌跡Γ于點Q，且.

①證明：

②求△AOB的面積S(λ)的解析式，并計算S(λ)的最大值.

 

Answer 1

(1)；(2)

【解析】

試題分析：(1)由已知M是PD的中點，利用P點在圓上，可以求出M的點軌跡方程為；(2)點Q在(1)中的橢圓上，G是OQ上的分點，利用直線與橢圓的關系，可以找到λ與m和k的關系，并進一步將三角形AOB的面積表示成λ的函數(shù)關系式，再求出它的最大值.

試題解析：(1)設，則點，且 (1)

∵

∴ (2)

將(2)代入(1)，得

∴軌跡Γ的方程為； 5分

(2)①令

由消去y

得 6分

∴，即 (3)

∴

又由中點坐標公式，得

根據(jù)，得

將其代入橢圓方程，有

化簡得： (4) 9分

②由(3)(4)得

∵ (5)

在△AOB中， (6)

∴由(4)(5)(6)可得 12分

令

則(當且僅當t＝1時，即時取“＝”)

∴當時，取得最大值，其最大值為1. 13分

考點：動點軌跡，直線與橢圓的位置關系，中點坐標，平面向量的坐標運算，基本不等式，范圍與最值.