Question

6．已知a，b，c，d∈E，證明下列不等式：
（1）（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；    
（2）a²+b²+c²≥ab+bc+ca．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)不等式的左邊減去右邊化簡(jiǎn)結(jié)果為 （ad-bc）²≥0，可得不等式成立；
（2）從不等式的左邊入手，左邊對(duì)應(yīng)的代數(shù)式的二倍，分別寫成兩兩相加的形式，在三組相加的式子中分別用均值不等式，整理成最簡(jiǎn)形式，得到右邊的2倍，兩邊同時(shí)除以2，得到結(jié)果．

解答 證明：∵（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=（ a²c²+a²d²+b²c²+b²d²）-（a²c²+2abcd+b²d²）
=（ad-bc）²≥0，
∴（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）² 成立；
（2）a²+b²+c²
=$\frac{1}{2}$（a²+b²+c²+a²+b²+c²）
≥$\frac{1}{2}$（2ab+2ca+2bc）=ab+bc+ca．
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用比較法證明不等式，考查均值不等式的應(yīng)用，考查不等式的證明方法，把差變?yōu)橐蚴匠朔e的形式，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．