Question

【題目】已知動圓與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)為曲線上的一個不在軸上的動點， 為坐標(biāo)原點，過點作的平行線交曲線于、兩個不同的點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積的最大值為.

【解析】試題分析：（1）由所給兩圓的位置關(guān)系及圖像，知動圓與圓內(nèi)切，再由兩圓內(nèi)切時半徑與圓心距的關(guān)系可得，則，滿足橢圓的定義，可知點軌跡方程為橢圓，再由橢圓定義可求得各橢圓方程各系數(shù)值；（2）可設(shè)直線的方程，及， ， 將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系與弦長公式可求得長度，再求出點到直線．利用函數(shù)性質(zhì)可求得面積最大值．

試題解析：（1）設(shè)圓的半徑為，圓心的坐標(biāo)為，

由于動圓與圓只能內(nèi)切

所以

則，

所以圓心的軌跡是以點， 為焦點的橢圓.

且，則.

所以曲線的方程為.

（2）設(shè)， ， ，直線的方程為，

由可得，

則， .

所以

.

因為，所以的面積等于的面積.

點到直線 的距離.

所以的面積

.

令，則， .

設(shè)，則，

因為，所以.

所以在上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時， 取得最小值，其值為9.

所以的面積的最大值為.

說明： 的面積 .