Question

12．已知0＜k＜4，直線(xiàn)l₁：kx-2y-2k+8=0和直線(xiàn)${l_2}：2x+{k^2}y-4{k^2}-4=0$與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，求使這個(gè)四邊形面積取最小時(shí)的k的值及最小面積的值．

Answer 1

分析 求出兩直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線(xiàn)與x 軸的交點(diǎn)，與y 軸的交點(diǎn)，得到所求的四邊形，求出四邊形的面積表達(dá)式，應(yīng)用二次函數(shù)的知識(shí)求面積最小時(shí)的k值與最小面積值．

解答 解：如圖所示：
直線(xiàn)L：kx-2y-2k+8=0 即k（x-2）-2y+8=0，過(guò)定點(diǎn)B（2，4），
與y軸的交點(diǎn)C（0，4-k），
直線(xiàn)M：2x+k²y-4k²-4=0，即  2x+k² （y-4）-4=0，
過(guò)定點(diǎn)（2，4 ），與x軸的交點(diǎn)A（2k²+2，0），
由題意，四邊形的面積等于三角形ABD的面積和梯形 OCBD的面積之和，
∴所求四邊形的面積為$\frac{1}{2}$×4×（2 k²+2-2）+$\frac{1}{2}$×（4-k+4）×2=4k²-k+8，
∴當(dāng)k=$\frac{1}{8}$時(shí)，所求四邊形的面積最小，最小面積的值為$\frac{63}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．