Question

17．$a=-\frac{1}{2}$是函數(shù)f（x）=ln（e^x+1）+ax為偶函數(shù)的充要條條件．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系求出a的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：若f（x）=ln（e^x+1）+ax為偶函數(shù)，
則f（-x）=f（x），
即ln（e^-x+1）-ax=ln（e^x+1）+ax，
即ln（$\frac{1}{{e}^{x}}$+1）-ln（e^x+1）=2ax，
即ln（$\frac{1+{e}^{x}}{{e}^{x}}$）-ln（e^x+1）=2ax，
即ln（e^x+1）-lne^x-ln（e^x+1）=2ax，
即-x=2ax，
即2a=-1，則$a=-\frac{1}{2}$，
即$a=-\frac{1}{2}$是函數(shù)f（x）=ln（e^x+1）+ax為偶函數(shù)的充要條件，
故答案為：充要．

點(diǎn)評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系求出a是解決本題的關(guān)鍵．