Question

已知函數(shù)f（x）=sin²ωx-cos²ωx+2

3

sinωxcosωx+λ，其圖象關于直線x=

π

3

對稱，且ω∈（0，2）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的圖象過點(

π

2

，0)，求f（x）在[0，

π

2

]的值域．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，由題意可得2ω•

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z結合ω∈（0，2）可得ω=1，易得最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由y=f（x）的圖象過點(

π

2

，0)可得λ=-1，可得f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，由x∈[0，

π

2

]逐步計算可得．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=sin²ωx-cos²ωx+2

3

sinωxcosωx+λ
=

3

sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，
∵函數(shù)圖象關于直線x=

π

3

對稱，
∴2ω•

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

，∴ω=

3

2

k+1，k∈Z
又ω∈（0，2），∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）+λ
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）若y=f（x）的圖象過點(

π

2

，0)，
則2sin（π-

π

6

）+λ=0，解得λ=-1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴2sin（2x-

π

6

）∈[-1，2]，
∴2sin（2x-

π

6

）-1∈[-2，1]，
∴f（x）在[0，

π

2

]的值域為：[-2，1]，

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，涉及三角函數(shù)的對稱性和周期性，屬中檔題．