Question

已知極坐標的極點與平面直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同，圓C的參數方程為

x=1+2cosα y= 3 +2sinα

（α為參數），點Q的極坐標為（4，-

2π

3

）．
（Ⅰ）寫出圓C的直角坐標方程和極坐標方程；
（Ⅱ）已知點P是圓C上的任意一點，求P，Q兩點間距離的最小值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（I）利用sin²α+cos²α=1可把圓C的參數方程化為(x-1)2+(y-

3

)2=4，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得到圓C的極坐標方程；
（II）點Q的極坐標為（4，-

2π

3

），化為直角方程Q(-2，-2

3

)．設P(1+2cosα，

3

+2sinα)，利用兩點之間的距離公式和余弦函數的單調性即可得出．

解答： 解：（I）由圓C的參數方程為

x=1+2cosα y= 3 +2sinα

，消去參數α可得(x-1)2+(y-

3

)2=4，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化為ρ2-2ρcosθ-2

3

ρsinθ=0，化為ρ=4cos(θ-

π

3

)．
（II）點Q的極坐標為（4，-

2π

3

），∴x_Q=4cos(-

2π

3

)=-2，y_Q=4sin(-

2π

3

)=-2

3

，∴Q(-2，-2

3

)．
設P(1+2cosα，

3

+2sinα)，
則|PQ|=

(1+2cosα+2)2+( 3 +2sinα+2 3 )2

=

40+24cos(α- π 3 )

≥

40-24

=4，當α=

4π

3

時，取等號．
∴P，Q兩點間距離的最小值為4．

點評：本題考查了同角三角函數的基本關系式、極坐標與直角坐標的互化、兩點之間的距離公式、余弦函數的單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．