Question

6．國(guó)家“十三五”計(jì)劃，提出創(chuàng)新興國(guó)，實(shí)現(xiàn)中國(guó)創(chuàng)新，某市教育局為了提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，把行動(dòng)落到實(shí)處，舉辦一次物理、化學(xué)綜合創(chuàng)新技能大賽，某校對(duì)其甲、乙、丙、丁四位學(xué)生的物理成績(jī)（x）和化學(xué)成績(jī)（y）進(jìn)行回歸分析，求得回歸直線方程為y=1.5x-35．由于某種原因，成績(jī)表（如表所示）中缺失了乙的物理和化學(xué)成績(jī)．

	甲	乙	丙	丁
物理成績(jī)（x）	75	m	80	85
化學(xué)成績(jī)（y）	80	n	85	95
綜合素質(zhì) （x+y）	155	160	165	180

（1）請(qǐng)?jiān)O(shè)法還原乙的物理成績(jī)m和化學(xué)成績(jī)n；
（2）在全市物理化學(xué)科技創(chuàng)新比賽中，由甲、乙、丙、丁四位學(xué)生組成學(xué)校代表隊(duì)參賽．共舉行3場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽均由賽事主辦方從學(xué)校代表中隨機(jī)抽兩人參賽，每場(chǎng)比賽所抽的選手中，只要有一名選手的綜合素質(zhì)分高于160分，就能為所在學(xué)校贏得一枚榮譽(yù)獎(jiǎng)?wù)拢�若記比賽中贏得榮譽(yù)獎(jiǎng)?wù)碌拿稊?shù)為ξ，試根據(jù)上表所提供數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)該校所獲獎(jiǎng)?wù)聰?shù)ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）求出物理與化學(xué)的平均值，代入回歸直線方程，然后求解即可．
（2）推出ξ的可能值，求出概率，即可得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（1）由已知可得，$\overline y=\frac{n+260}{4}，\overline x=\frac{m+240}{4}$，因?yàn)榛貧w直線 y=1.5x-35過(guò)點(diǎn)樣本中心，
所以$\frac{n+260}{4}=1.5×\frac{m+240}{4}-35$，∴3m-2n=80，
又m+n=160，解得m=80，n=80．
（2）在每場(chǎng)比賽中，比賽中贏得榮譽(yù)獎(jiǎng)?wù)碌拿稊?shù)為ξ的可能值為：0，1，2，3．
獲得一枚榮譽(yù)獎(jiǎng)?wù)碌母怕蔖=1-$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{5}{6}$，ξ～B（3，$\frac{5}{6}$），P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{6}）^{3}$=$\frac{1}{216}$；
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}×\frac{5}{6}×（\frac{1}{6}）^{2}$=$\frac{5}{72}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}×\frac{1}{6}×（\frac{5}{6}）^{2}$=$\frac{25}{72}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}×（\frac{5}{6}）^{3}$=$\frac{125}{216}$，
所以預(yù)測(cè)ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{216}$	$\frac{5}{72}$	$\frac{25}{72}$	$\frac{125}{216}$

故預(yù)測(cè)Eξ=nP=3×$\frac{5}{6}$=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，回歸直線方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．