Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)．
（I）求證：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）求直線(xiàn)PB與平面ABM所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角M-BC-D的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：空間角

分析：（I）根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可鄭明明BM∥平面PAD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)，即可求直線(xiàn)PB與平面ABM所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角M-BC-D的正弦值．

解答： （I）證明：取PD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE和EM，
則EM

∥ .

.

1

2

CD，又AB

∥ .

.

1

2

CD，∴AB

∥ .

.

EM，
∴四邊形ABME為平行四邊形，∴BM∥AE
又∵M(jìn)B∉平面PAD，AE?平面PAD∴BM∥平面PAD
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，以AD、AB、AP所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖，則A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，2，0），D（2，0，0），
E（1，0，1），M（1，1，1），P（0，0，2），設(shè)直線(xiàn)PB與平面ABM所成的角為θ，
∵AD=AP，E是PD中點(diǎn)，∴AE⊥PE，
∵PA⊥AB，AD⊥AB，
∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PE
∴PE⊥面ABME，即

PE

為面ABM的法向量，
∵

PB

=(0，1，-2)，|

PB

|=

5

，  

PE

=(1，0，-1)．|

PE

|=

2

∴cos＜

PB

，

PE

＞=

PB • PE

| PB |•| PE |

=

2

5 × 2

=

10

5

．
∴sinθ=cos＜

PB

，

PE

＞=

10

5

（Ⅲ）設(shè)二面角M-BC-D的平面角為a，平面MBC的法向量為

m

=（x，y，z），
則

m

•

BM

=0，

m

•

BC

=0，
∵

BM

=(1，0，1)，

BC

=(2，1，0)，∴x+z=0，2x+y=0，
不妨設(shè)x=1，則

m

=(1，-2，-1)，|

m

|=

6

，
∵

AP

為平面ABCD的法向量，且

AP

=(0，0，2)．|

AP

|=2
∴cos＜

AP

，

m

＞=

AP • m

| AP |•| m |

=

-2

2 6

=-

6

6

．∴sinα=

30

6

解法二：（I）同上；
（Ⅱ）連結(jié)BE，∵AD=AP，E是PD中點(diǎn)，∴AE⊥PE．
∵PA⊥AB．AD⊥AB，∴AB⊥面PAD，
∴AB⊥PE
∴PE⊥面ABME
∴∠PBE就是直線(xiàn)PB與平面ABM所成的角．
∵PE=

2

，PB=

5

，     ∴sinθ=

PE

PB

=

10

5

（Ⅲ）連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥BC于H，連結(jié)MH，
∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)，∴MN∥PA且MN=

1

2

PA=1
∴MN⊥面BCD
又∵NH⊥BC，∴MH⊥BC
∴∠MHN就是二面角M-BC-D的平面角，設(shè)為α．
在Rt△BMC中，BC=

5

，MC=

1

2

PC=

3

，MB=

2

∴MH=

MB•MC

BC

=

6

5

     ∴sinα=

MN

MH

=

30

6

∴二面角M-BC-D的正弦值為

30

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線(xiàn)和平面平行的判定，以及空間角的計(jì)算，要求熟練掌握直線(xiàn)和平面所成的角以及二面角的求解方法，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．