【題目】已知函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),函數(shù)在上有三個零點.
(1)求的值;
(2)若1是其中一個零點,求的取值范圍;
(3)若,試問過點(2,5)可作多少條直線與曲線y=g(x)相切?請說明理由.
【答案】(1) b=0;(2) (,+∞);⑶過點(2,5)可作2條曲線y=g(x)的切線
【解析】試題分析:(1)由題意得 ,即得b=0.(2)由f(1)=0,得c=1a,所以f(2)= 3a7,根據(jù)在上有三個零點可得的取值范圍,代入可得的取值范圍;(3)先設切點,根據(jù)導數(shù)幾何意義可求切線方程,轉化研究方程解的個數(shù),令h(x)= ,則利用導數(shù)可得函數(shù)先減后增,結合零點存在定理可得函數(shù)有兩個零點,即可作2條切線
試題解析:(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c,
∴f′(x)=3x2+2ax+b,
∵f(x)在(∞,0)上是減函數(shù),在(0,1)上是增函數(shù),
∴當x=0時,f(x)取到極小值,即.
∴b=0.
(2)由(1)知f(x)=x3+ax2+c,
∵1是函數(shù)f(x)的一個零點,即f(1)=0,
∴c=1a,
∵f′(x)=3x2+2ax=0的兩個根分別為x1=0,x2=,
f(x)在(0,1)上是增函數(shù),且函數(shù)f(x)在R上有三個零點,
∴x2=>1,解得,
∴f(2)=8+4a+(1a)=3a7>,
∴f(2)的取值范圍是(,+∞).
⑶=2x+lnx,設過點(2,5)與曲線g (x)的切線的切點坐標為
∴,即
∴,令h(x)= ,∴==0,∴
∴h(x)在(0,2)上單調遞減,在(2, )上單調遞增
又,h(2)=ln2-1<0,
∴h(x)與x軸有兩個交點,∴過點(2,5)可作2條曲線y=g(x)的切線.
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【題目】已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點, 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,圓的極坐標方程為,直線與圓交于, 兩點.
(1)求圓的直角坐標方程及弦的長;
(2)動點在圓上(不與, 重合),試求的面積的最大值.
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【題目】如圖所示,在三棱錐P -ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA90°,APAC,點D,E分別在棱PB,PC上,且BC∥平面ADE.
(Ⅰ)求證:DE⊥平面PAC;
(Ⅱ)若PC⊥AD,且三棱錐P-ABC的體積為8,求多面體ABCED的體積.
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【題目】為了研究一片大約一萬株樹木的生長情況,隨機測量了其中100株樹木的底部周長(單位:cm),根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出的樣本頻率分布直方圖如圖,那么在這片樹木中底部周長大于100cm的株樹大約中( )
A.3000
B.6000
C.7000
D.8000
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【題目】己知函數(shù), .
(I)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(II)設,已知函數(shù)在上是增函數(shù).
(1)研究函數(shù)上零點的個數(shù);
(ii)求實數(shù)c的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在軸上,橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形,且橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓相交于兩點,求面積的最大值.
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