【題目】己知函數(shù), .
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)設(shè),已知函數(shù)在上是增函數(shù).
(1)研究函數(shù)上零點的個數(shù);
(ii)求實數(shù)c的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)詳見解析; (Ⅱ)(1)1個;(2) .
【解析】試題分析(1) 對函數(shù)求導(dǎo),①當(dāng)時, 在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);②當(dāng)時, 在上是增函數(shù),在上是減函數(shù);(2) (1)當(dāng)時,函數(shù) , , 在上單調(diào)遞減.又, ,由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知, 在上零點的個數(shù)為1.(2)由(1)知,當(dāng)時, >0,當(dāng)時, <0.∴當(dāng)時, =求導(dǎo),得在, 上恒成立. ①當(dāng)時, min= 極小值= ,故“在上恒成立”,只需 .②當(dāng)時,當(dāng)時, 在上恒成立,綜合①②知, 的取值范圍是.
試題解析:(Ⅰ)∵,
∴,
①當(dāng)時,
在時, ,
在時, ,
故在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);
②當(dāng)時,
在時, ,
在時, ,
故在上是增函數(shù),在上是減函數(shù);
(Ⅱ)(1)當(dāng)時,函數(shù) ,
求導(dǎo),得,
當(dāng)時, 恒成立,
當(dāng)時, ,
∴ ,
∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減.
又, ,
曲線在[1,2]上連續(xù)不間斷,
∴由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知,唯一的∈(1,2),使,
所以,函數(shù)在上零點的個數(shù)為1.
(2)由(1)知,當(dāng)時, >0,當(dāng)時, <0.
∴當(dāng)時, =
求導(dǎo),得
由函數(shù)在上是增函數(shù),且曲線在上連續(xù)不斷知:
在, 上恒成立.
①當(dāng)時, 上恒成立,
即在上恒成立,
記, ,則, ,
當(dāng) 變化時, , 變化情況列表如下:
3 | |||
0 | |||
極小值 |
∴min= 極小值= ,
故“在上恒成立”,只需 ,即.
②當(dāng)時, ,
當(dāng)時, 在上恒成立,
綜合①②知,當(dāng)時,函數(shù)在上是增函數(shù).
故實數(shù)的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某社區(qū)工會對當(dāng)?shù)仄髽I(yè)工人月收入情況進行一次抽樣調(diào)查后畫出的頻率分布直方圖,其中第二組月收入在[1.5,2)千元的頻數(shù)為300,則此次抽樣的樣本容量為( )
A.1000
B.2000
C.3000
D.4000
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCED中,PD⊥面ABCD,四邊形ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=PA=2AD=4,
(1)若E為PC中點,求證:PA∥平面BDE
(2)求三棱錐D﹣BCP的體積.
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【題目】已知橢圓: 過點, 為橢圓的半焦距,且,過點作兩條互相垂直的直線, 與橢圓分別交于另兩點, .
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線的斜率為,求的面積;
(3)若線段的中點在軸上,求直線的方程.
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【題目】已知函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),函數(shù)在上有三個零點.
(1)求的值;
(2)若1是其中一個零點,求的取值范圍;
(3)若,試問過點(2,5)可作多少條直線與曲線y=g(x)相切?請說明理由.
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【題目】如圖,菱與四邊形BDEF相交于BD, 平面ABCD,DE//BF,BF=2DE,AF⊥FC,M為CF的中點, .
(I)求證:GM//平面CDE;
(II)求證:平面ACE⊥平面ACF.
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【題目】己知函數(shù) (其中e為自然對數(shù)的底數(shù)), .
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)設(shè),.已知直線是曲線的切線,且函數(shù)上是增函數(shù).
(i)求實數(shù)的值;
(ii)求實數(shù)c的取值范圍.
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【題目】設(shè)p:實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,命題q:實數(shù)x滿足 .
(1)若a=1,且p∨q為真,求實數(shù)x的取值范圍;
(2)若p是q的必要不充分要條件,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足:a3=3,a5+a7=12,{an}的前n項和為Sn .
(1)求an及Sn;
(2)令bn= (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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