Question

4．已知函數f（x）=asin2x+bcos2x（ab≠0），有下列四個命題：其中正確命題的序號為①③（填上所有正確命題的序號）
 ①若a=1，b=-$\sqrt{3}$，要得到函數y=f（x）的圖象，只需將函數y=2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位；
②若a=1，b=-1，則函數y=f（x）的一個對稱中心為（$\frac{π}{4}，0}$）；
③若y=f（x）的一條對稱軸方程為x=$\frac{π}{8}$，則a=b；
④若方程asin2x+bcos2x=m的正實數根從小到大依次構成一個等差數列，則這個等差數列的公差為π．

Answer 1

分析 ①a=1，b=-$\sqrt{3}$時化簡f（x），根據函數圖象的平移，即可得出命題正確；
②a=1，b=-1時化簡f（x），計算f（$\frac{π}{4}$）的值，即可判斷（$\frac{π}{4}$，0）不是函數y=f（x）的一個對稱中心；
③當y=f（x）的一條對稱軸方程為x=$\frac{π}{8}$時，f（$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，由此得出a=b成立；
④舉例說明m=0時方程asin2x+bcos2x=m的正實數根從小到大依次構成一個等差數列，公差不為π．

解答 解：對于①，當a=1，b=-$\sqrt{3}$時，f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=2sin2（x-$\frac{π}{6}$），
要得到函數y=f（x）的圖象，只需將函數y=2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，命題正確；
對于②，當a=1，b=-1時，f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
且f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=1≠0，∴（$\frac{π}{4}$，0）不是函數y=f（x）的一個對稱中心，原命題錯誤；
對于③，當y=f（x）的一條對稱軸方程為x=$\frac{π}{8}$時，
f（$\frac{π}{8}$）=asin$\frac{π}{4}$+bcos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，
∴$\frac{1}{2}$（a-b）²=0，即a=b，命題正確；
對于④，當m=0時，方程asin2x+bcos2x=m的正實數根從小到大依次構成一個等差數列，
此時等差數列的公差為$\frac{π}{2}$，原命題錯誤．
綜上，正確的命題是①③．
故答案為：①③．

點評 本題考查了給出符合已知條件的三角函數表達式，判斷幾個選項是否正確的應用問題，著重考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質、兩角和與差的三角函數的知識，是綜合性題目．