Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，其中$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1）
求：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$；|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；                     
（Ⅱ）$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的坐標(biāo)，從而利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值，再根據(jù)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的坐標(biāo)，求得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的值．
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的夾角為θ，根據(jù) $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-1=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cosθ，求得 cosθ的值．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，其中$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow$=（1，1），∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（1，-2）•（1，1）=1-2=-1．
∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（2，-1），∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$．
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的夾角為θ，∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-1=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cosθ=$\sqrt{5}$•$\sqrt{2}$•cosθ，∴cosθ=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法法則的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求向量的模，屬于基礎(chǔ)題．