如圖，在直棱柱ABC-A′B′C′中，底面是邊長為3的等邊三角形，AA′=4，M為AA′的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC′到M的最短路線長為
29
，設(shè)這條最短路線與CC′的交點為N．求：
（1）該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；
（2）PC與NC的長；
（3）三棱錐C-MNP的體積．
考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,棱柱的結(jié)構(gòu)特征,棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）由展開圖為矩形，用勾股定理求對角線長．
（2）在側(cè)面展開圖中三角形MAP是直角三角形，可以求出線段AP的長度，進(jìn)而可以求出PC的長度，再由相似比可以求得CN的長度．
（3）M到平面PCN的距離d=AP=
3
3
2
，由VC-MNP=VM-PCN，利用等積法能求出三棱錐C-MNP的體積．
解答： 解：（1）由已知得直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，
其對角線長為
92+42
=
97
．
（2）如圖，將側(cè)面BB1C1C繞棱CC1旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)成AA1C1C在同一平面上，
點P運動到點P1的位置，連接MP1，
則MP1就是由點P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到點M的最短路線，
設(shè)PC=x，則P1C=x，在Rt△MAP1中，
由勾股定理得（3+x）2+22=29，
解得x=2，∴PC=P1C=2，
∵
NC
MA
=
P1C
P1A
=
2
5
，∴NC=
4
5
．
（3）∵在直棱柱ABC-A′B′C′中，底面是邊長為3的等邊三角形，
∴M到平面PCN的距離d=AP=
3
3
2
，
又S△PCN=
1
2
×PC×NC=
1
2
×2×
4
5
=
4
5
，
∴VC-MNP=VM-PCN=
1
3
×AP×S△PCN
=
1
3
×
3
3
2
×
4
5
=
2
3
5
．
點評：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、棱柱等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x•sinx，有下列四個結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；
②存在常數(shù)T＞0，對任意的實數(shù)x，恒有f（x+T）=f（x）成立；
③對于任意給定的正數(shù)M，都存在實數(shù)x0，使得|f（x0）|≥M；
④函數(shù)f（x）的圖象上至少存在三個點，使得該函數(shù)在這些點處的切線重合．
其中正確結(jié)論的序號是
 
（請把所有正確結(jié)論的序號都填上）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線或粗虛線畫出了某簡單組合體的三視圖和直觀圖（斜二測畫法），則此簡單幾何體的體積是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在實數(shù)集R內(nèi)，我們用“＜”為全體實數(shù)排了一個“序”，類似的，我們在向量集上也可以定義一個“序”的關(guān)系，記為“?”，定義如下：對于任意兩個向量
m1
=（x1，y1）•（x1，y1∈R），
m2
=（x2，y2）•（x2，y2∈R），當(dāng)取僅當(dāng)“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”時，
m1
?
m2
，按上述定義的關(guān)系“?”，給出如下四個命題：
①若
m1
?
m2
，則|
m1
|≤|
m2
|；
②若
m1
?
m2
，
m2
?
m3
，則，則
m1
?
m3
；
③若
m1
?
m2
，則對于任意
m
，都有（
m1
+
m
）?（
m2
+
m
）成立；
④對于實數(shù)λ≥0，若
m1
?
m2
，則λ
m1
?λ
m2
成立；
其中所有命題的個數(shù)為（　　）
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義運算a*b，a*b
a，a≤b
b，a＞b
，例如1*2=1，已知函數(shù)f（x）=1*ax（0＜a＜1）且f（4）=
1
2014
，則f（2）=（　�。�
A、-1007
B、-1006
C、1007
D、
1
2014

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)xy最大時，該幾何體的體積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖（1），在邊長為2的正方形ABCD中，E是邊AB的中點．將△ADE沿DE折起使得平面ADE⊥平面BCDE，如圖（2），F(xiàn)是折疊后AC的中點．

（Ⅰ）求證：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）求二面角E-AB-D的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，半圓的直徑AB=6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則（
PA
+
PB
）•
PC
的最小值為（　�。�
A、
9
2
B、9
C、-
9
2
D、-9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為迎接2015年在蘭州舉行的“中國蘭州國際馬拉松比賽”，某單位在推介晚會中進(jìn)行嘉賓現(xiàn)在抽獎活動，抽獎盒中裝有大小相同的6個小球，分別印有“蘭州馬拉松”和“綠色金城行”兩種標(biāo)志，搖勻后，規(guī)定參加者每次從盒中同時抽取兩個小球（登記后放回并搖勻），若抽到的兩個球都印有“蘭州馬拉松”標(biāo)志即可獲獎．并停止取球；否則繼續(xù)，但每位嘉賓最多抽取3次，已知從盒中抽取兩個小球不都是“綠色金城行”標(biāo)志的概率為
4
5
．
（Ⅰ）求盒中印有“蘭州馬拉松”標(biāo)志的小球的個數(shù)；
（Ⅱ）若用η表示這位嘉賓抽取的次數(shù)，求η的分布列和期望．

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同步練習(xí)冊答案