Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N*，n≥2），且a₁=5，則a_n=${3^n}（{n+\frac{1}{2}}）+\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式兩邊同時除以3ⁿ，然后利用累加法求得答案．

解答 解：由a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），
得$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}+1-\frac{1}{{3}^{n}}$（n≥2），
∴$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}=\frac{{a}_{1}}{{3}^{1}}+1-\frac{1}{{3}^{2}}$，
$\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}}=\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+1-\frac{1}{{3}^{3}}$，
$\frac{{a}_{4}}{{3}^{4}}=\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}}+1-\frac{1}{{3}^{4}}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}+1-\frac{1}{{3}^{n}}$（n≥2），
累加得：$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{{a}_{1}}{3}+（n-1）-\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{{a}_{1}}{3}+（n-1）-\frac{1}{6}+\frac{1}{2•{3}^{n}}$，
∵a₁=5，
∴${a}_{n}={3}^{n}（n+\frac{1}{2}）+\frac{1}{2}$（n≥2）．
驗證n=1時上式成立，
∴${a}_{n}={3}^{n}（n+\frac{1}{2}）+\frac{1}{2}$．
故答案為：${3^n}（{n+\frac{1}{2}}）+\frac{1}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．