【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)為F(2,0),M為橢圓的上頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且△MOF是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點(diǎn),設(shè)兩直線的斜率分別為k1 , k2 , 且k1+k2=8,證明:直線AB過(guò)定點(diǎn)( ).
【答案】(Ⅰ)解:由△MOF是等腰直角三角形,得c2=b2=4,a2=8,
故橢圓方程為: =1.
(Ⅱ)證明:(i)若直線AB的斜率存在,設(shè)AB的方程為:y=kx+m,依題意得m≠±2,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由 ,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,
則 .
由已知 k1+k2=8,可得 ,
所以 ,即 .
所以 ,整理得 .
故直線AB的方程為 ,即y=k( )﹣2.
所以直線AB過(guò)定點(diǎn)( ).
(ii)若直線AB的斜率不存在,設(shè)AB方程為x=x0,
設(shè)A(x0,y0),B(x0,﹣y0),
由已知 ,得 .
此時(shí)AB方程為 ,顯然過(guò)點(diǎn)( ).
綜上,直線AB過(guò)定點(diǎn)( ).
【解析】(Ⅰ)由△MOF是等腰直角三角形,得c2=b2=4,再根據(jù)a2=b2+c2可求得a;(Ⅱ)分情況討論:(1)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)AB的方程為:y=kx+m,聯(lián)立直線AB方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程,由韋達(dá)定理及k1+k2=8可得關(guān)于k,m的關(guān)系式,消m代入直線AB方程可求得定點(diǎn)坐標(biāo);(2)若直線AB的斜率不存在,設(shè)AB方程為x=x0,由已知可求得AB方程,易驗(yàn)證其過(guò)定點(diǎn);
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程 (φ為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin(θ+ )=3 ,射線OM:θ= 與圓C的交點(diǎn)為O、P,與直線l的交點(diǎn)為Q,求線段PQ的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù) 的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 上單調(diào)遞減,則m的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C: (θ為參數(shù)),點(diǎn)P在直線l:x+y﹣4=0上,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(I)求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程;
(II)射線OP交圓C于R,點(diǎn)Q在射線OP上,且滿(mǎn)足|OP|2=|OR||OQ|,求Q點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足對(duì)x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),且當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=﹣2x2+12x﹣18,若函數(shù)y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知從A地到B地共有兩條路徑L1和L2 , 據(jù)統(tǒng)計(jì),經(jīng)過(guò)兩條路徑所用的時(shí)間互不影響,且經(jīng)過(guò)L1與L2所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率分布直方圖分別如圖(1)和圖(2).
現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于從A地到B地.
(1)為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地,甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑?
(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到B地的人數(shù),針對(duì)(1)的選擇方案,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),點(diǎn)A到x軸的距離等于|AF|﹣1.
(1)求拋物線C的方程;
(2)直線AF與C交于另一點(diǎn)B,拋物線C分別在點(diǎn)A,B處的切線交于點(diǎn)P,D為y軸正半軸上一點(diǎn),直線AD與C交于另一點(diǎn)E,且有|FA|=|FD|,N是線段AE的靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn).
(i)證明點(diǎn)P在△NAB的外接圓上;
(ii)△NAB的外接圓周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線 的極坐標(biāo)方程為 .
(1)求曲線 的參數(shù)方程;
(2)在曲線 上任取一點(diǎn) ,求的 最大值.
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