Question

【題目】已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A到x軸的距離等于|AF|﹣1．

（1）求拋物線C的方程；
（2）直線AF與C交于另一點(diǎn)B，拋物線C分別在點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P，D為y軸正半軸上一點(diǎn)，直線AD與C交于另一點(diǎn)E，且有|FA|=|FD|，N是線段AE的靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)．
（i）證明點(diǎn)P在△NAB的外接圓上；
（ii）△NAB的外接圓周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：過(guò)A作AM⊥x軸，垂足為M，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為：y=﹣ ，

∴AF=AM+ ，

∴ =1，即p=2．

∴拋物線C的方程為：x2=4y．

（2）解：（i）設(shè)A（x1， ），B（x2， ），

∵A，B，F(xiàn)（0，1）三點(diǎn)共線，∴ ，∴x1x2=﹣4，

由x2=4y得y= ，

∴切線AP的方程為：y﹣ = （x﹣x1），

切線BP的方程為：y﹣ = （x﹣x2），

聯(lián)立方程組可得P（ ﹣ ，﹣1），

∴ =（ ， +1）， =（﹣ ﹣ ， +1），

∴ =（ ）（﹣ ﹣ ）+（ +1）（ +1）=0，

∴∠BPA=90°．

∵|FD|=|FA|= +1，∴D（0， +2），

設(shè)E（x3， ），由A，D，E三點(diǎn)共線得： ，

∴x3=﹣x1﹣ ，

∵N是AE的靠近A的四等分點(diǎn)，

∴N（﹣ + ， +1），

∴ =（ + ，﹣ ﹣1）， =（﹣ ﹣ ，﹣ ﹣1）．

∴ =（ + ）（﹣ ﹣ ）+（﹣ ﹣1）（﹣ ﹣1）=0，

∴∠BNA=90°，

∴A，B，P，N四點(diǎn)共圓，

∴P在△ABN的外接圓上．

（ii）由（i）可知|AB|為△ABN的外接圓直徑．

∵|AB|= +2= ≥2| || |+2=4．

當(dāng)且僅當(dāng)| |=| |即x1=±1時(shí)，取等號(hào)．

∴當(dāng)x1=1或﹣1時(shí)，△ABN的外接圓周長(zhǎng)最小，最小周長(zhǎng)為4π．

【解析】（1）利用拋物線的性質(zhì)可知 =1，從而得出拋物線方程；（2）（i）設(shè)A（x1， ），B（x2， ），E（x3， ），由三點(diǎn)共線可得x2，x3與x1的關(guān)系，求出P，N的坐標(biāo)，利用向量證明AP⊥BP，AN⊥BN，從而可得A，B，P，N四點(diǎn)共圓；

（ii）利用基本不等式求出外接圓的直徑|AB|的最小值即可得出周長(zhǎng)的最小值．