已知函數(shù)f（x）=ln（ax）-
x-a
x
（a≠0）．
（1）求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；
（2）當a=1時，是否存在過點（-1，1）的直線與函數(shù)y=f（x）的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，再求導，然后分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值．
（2）求導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義進行判斷．
解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ln（ax）-
x-a
x
（a≠0）．
∴ax＞0
∴f′（x）=
1
x
-
a
x2
=
x-a
x2
，
令f′（x）=0，得x=a，
①a＞0時，則x＞0，函數(shù)f（x）在（0，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增，
故當x=a時，函數(shù)有最小值，最小值為f（a）=2lna，
②a＜0時，則x＜0，函數(shù)f（x）在（-∞，a）上遞減，在（a，0）上遞增，
故當x=a時，函數(shù)有最小值，最小值為f（a）=2ln（-a），
（2）當a=1時，f（x）=lnx+
1
x
-1，（x＞0）
∴f′（x）=
1
x
-
1
x2
=
x-1
x2
，（x＞0），
設切點為T（x0，lnx0+
1
x0
-1），
∴切線的斜率k=
x0-1
x02
=
lnx0+
1
x0
-1-1
x0+1
，
∴l(xiāng)nx0+
1
x02
+
1
x0
-3=0，①
設g（x）=lnx+
1
x
+
1
x2
-3，
∴g′（x）=
x2-x-1
x3
，
令g′（x）=0，解得x=
-1+
5
2

∵x＞0，
∴g（x）在區(qū)間（0，
-1+
5
2
）是減函數(shù)，（
-1+
5
2
，+∞）上是增函數(shù)，
∵g（1）=ln1+1+1-3=-1＜0，g（
1
2
）=ln
1
2
+2+4-3=3-ln2＞0，
注意到g（x）在其定義域上的單調(diào)性，知g（x）=0僅在（
1
2
，1）內(nèi)有且僅有一根
所以方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．
點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性，極值之間的關系，考查學生的運算能力
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=x2-4x-4的定義域為[t-2，t-1]，對任意t∈R，求函數(shù)f（x）的最小值g（t）的解析式．

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已知定義域為R的函數(shù)f （x）滿足對任意的x1，x2∈（8，+∞）（x1＜x2），有f（x1）＞f（x2），且函數(shù)y=f（x+8）為偶函數(shù)，則（　　）
A、f （6）＞f （7）
B、f （6）＞f （9）
C、f （7）＞f （9）
D、f （7）＞f （10）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，c，d是四條不重合的直線，其中c為a在平面α上的射影，d為b在平面α上的射影，則（　　）
A、c∥d⇒a∥b
B、a⊥b⇒c⊥d
C、a∥b⇒c∥d
D、c⊥d⇒a⊥b

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+alnx在x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直，函數(shù)g（x）=f（x）+
1
2
x2-bx．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）設x1，x2（x1＞x2）是函數(shù)g（x）的兩個極值點，若b≥
7
2
，求g（x1）-g（x2）的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為
x=-2-
1
2
t
y=2+
3
2
t
（t為參數(shù)），它與曲線C：（y-2）2-x2=1交于A、B兩點．
（1）求|AB|的長；
（2）以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點P的極坐標為（2
2
，
3π
4
），求點P到線段AB中點M的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]
（1）求圖中a的值并計算[70，100]的人數(shù)；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（2log4x-2）（log4x-
1
2
）．
（1）當x∈[2，4]時，求該函數(shù)的值域；
（2）若f（x）≥mlog4x對于x∈[4，16]恒成立，求m有取值范圍．

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已知命題p：方程（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m）表示的曲線是雙曲線；命題q：函數(shù)f（x）=x3-mx在區(qū)間（-∞，-1]上為增函數(shù)，若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

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