Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（a_n，2），$\overrightarrow$=（a_n+1，$\frac{2}{5}$），且a₁=1，若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則S_n=（　　）

• A． $\frac{5}{4}$[1-（$\frac{1}{5}$）ⁿ]
• B． $\frac{1}{4}$[1-（$\frac{1}{5}$）ⁿ]
• C． $\frac{1}{4}$[1-（$\frac{1}{5}$）^n-1]
• D． $\frac{5}{4}$[1-（$\frac{1}{5}$）^n-1]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$結(jié)合向量平行的坐標表示方法可得2a_n+1=$\frac{2}{5}$×a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{5}$，由等比數(shù)列的定義可得數(shù)列{a_n}為首項a₁=1，公比為$\frac{1}{5}$的等比數(shù)列，由等比數(shù)列前n項和公式計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，向量$\overrightarrow{a}$=（a_n，2），$\overrightarrow$=（a_n+1，$\frac{2}{5}$），
若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則有2a_n+1=$\frac{2}{5}$×a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{5}$，
則數(shù)列{a_n}為首項a₁=1，公比為$\frac{1}{5}$的等比數(shù)列，
則其前n項和為S_n=$\frac{1[1-（\frac{1}{5}）^{n}]}{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{5}{4}$[1-（$\frac{1}{5}$）ⁿ]，
故選：A．

點評 本題考查等比數(shù)列的前n項和，關(guān)鍵是由向量平行的坐標表示方法得到數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．