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如圖，對每個正整數n，An(xn，yn)是拋物線x2＝4y上的點，過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點Bn(Sn，tn)．Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點．

(1)求證∠AnCnBn＝90o；

(2)求證點Cn的縱坐標是一個定值，并求這個定值；

(3)若|FC1|、|FC2|、|FC3|、…、|FCn|構成首項為3，公比為2的等比數列，求|A1B1|＋|A2B2|＋|A3B3|＋…＋|AnBn|．

答案：
解析：

　　證明：(1)對任意固定的因為焦點F(0，1)，所以可設直線的方程為

　　將它與拋物線方程聯立得，

　　由一元二次方程根與系數的關系得……★

　　對任意固定的利用導數知識易得拋物線在處的切線的斜率

　　故在處的切線的方程為：　，……①

　　類似地，可求得在處的切線的方程為：，……②

　　又故∠AnCnBn＝90o

　　(2)又由②－①得：，

　　……③

　　將③代入①并注意得交點的縱坐標為－1．

　　(3)由拋物線定義知，，，又

　　故

　　而由兩點間的距離公式得：

　　故

　　故

　　所以，

　　＝


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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，對每個正整數n，An（xn，yn）是拋物線x2=4y上的點，過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點Bn（sn，tn）．
（Ⅰ）試證：xnsn=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取xn=2n，并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點．試證：|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1．

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科目：高中數學 來源：重慶市高考真題 題型：證明題

如圖，對每個正整數n，An(xn，yn)是拋物線x2=4y上的點，過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點Bn（sn，tn），
（Ⅰ）試證：xnsn=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取xn=2n，并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點．試證：|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1（n≥1）。

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科目：高中數學 來源： 題型：

(22)如圖，對每個正整數n，An（xn，yn）是拋物線x2=4y上的點，過焦點F的直線FA.交拋物線于另一點Bn（sn，tn）.

（Ⅰ）試證：xnsn=－4（n≥1）；

（Ⅱ）取xn=2n，并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點.試證：

|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1（n≥1）.

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科目：高中數學 來源：2008-2009學年江蘇省南通市啟東中學高三（上）12月階段考試數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，對每個正整數n，An（xn，yn）是拋物線x2=4y上的點，過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點Bn（sn，tn）．
（Ⅰ）試證：xnsn=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取xn=2n，并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點．試證：|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1．

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科目：高中數學 來源：2006年重慶市高考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，對每個正整數n，An（xn，yn）是拋物線x2=4y上的點，過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點Bn（sn，tn）．
（Ⅰ）試證：xnsn=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取xn=2n，并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點．試證：|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1．

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