Question

2．設(shè)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}（1-a）$x²-ax+$\frac{1}{3}$（a＞0），當0≤x≤a時，f（x）的值域為[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]，則a=（　�。�

• A． 2
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 首先求解導函數(shù)，然后利用導函數(shù)確定原函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的值域得到關(guān)于實數(shù)a的方程，解方程即可求得最終結(jié)果．

解答 解：所給函數(shù)的導函數(shù)：f'（x）=x²+（1-a）x-a=（x-a）（x+1），
利用導函數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a]⊆[-1，a]上單調(diào)遞減，
結(jié)合函數(shù)的值域可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=\frac{1}{3}}\\{f（a）=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
結(jié)合函數(shù)的解析式有：$f（a）=\frac{1}{3}{a}^{3}+\frac{1}{2}（1-a）{a}^{2}-{a}^{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$，
整理變形可得：（a-1）（a+2）²=0，
很明顯a＞0，據(jù)此可得a=1．
故選：B．

點評 本題考查了導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)值域的相關(guān)問題，轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想等，重點考查學生對基礎(chǔ)概念的理解和計算能力，屬于中等題．