Question

15．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{{{log}_3}x}|，0＜x≤3\\ \frac{1}{3}{x^2}-\frac{10}{3}x+8，x＞3\end{array}\right.，a，b，c，d$是互不相同的正數(shù)，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），則abcd的取值范圍是（21，24）．

Answer 1

分析 先畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，再根據(jù)條件利用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，利用數(shù)形結(jié)合，即可求出其范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示
若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），
不妨令a＜b＜c＜d，
則0＜a＜1，1＜b＜4，
則log₃a=-log₃b，即log₃a+log₃b=log₃ab=0，
則ab=1，
由$\frac{1}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x+8=1得x²-10x+21=0，
得x=7或x=3，
同時(shí)c∈（3，4），d∈（6，7），
∵c，d關(guān)于x=5對(duì)稱(chēng)，∴$\frac{c+d}{2}$=5，
則c+d=10，則10=c+d，
同時(shí)cd=c（10-c）=-c²+10c=-（c-5）²+25，
∵c∈（3，4），
∴當(dāng)c=3時(shí)，cd=3×7=21，
當(dāng)c=4時(shí)，cd=4×6=24，
∴cd∈（21，24），
即abcd=cd∈（21，24），
故答案為：（21，24）；

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，由題意正確畫(huà)出圖象和熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．利用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．