Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA=AB=4，∠CDA=120°．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）設E為PC的中點，點F在線段AB上，若直線EF∥平面PAD，求AF的長；
（3）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的性質(zhì),與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角,空間向量及應用

分析：（1）利用線面垂直的判定定理，證明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；
（2）設取DC中點G，連接FG，證明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，求出AD=CD，即可求AF的長；
（3）建立空間直角坐標系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A-PC-B的余弦值．

解答： （1）證明：∵△ABC是正三角形，M是AC中點，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（2）解：取DC中點G，連接FG，則EG∥平面PAD，

∵直線EF∥平面PAD，EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面PAD，
∵FG?平面EFG，
∴FG∥平面PAD
∵M為AC中點，DM⊥AC，
∴AD=CD．
∵∠ADC=120°，AB=4，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，AD=CD=

4 3

3

，
∵∠DGF=60°，DG=

2 3

3

，∴AF=1
（3）解：分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標系，

∴B（4，0，0），C（2，2

3

，0），D（0，

4 3

3

，0），P（0，0，4）．

DB

=（4，-

4 3

3

，0）為平面PAC的法向量．
設平面PBC的一個法向量為

n

=（x，y，z），則
∵

PC

=（2，2

3

，-4），

PB

=（4，0，-4），
∴

2x+2 3 y-4z=0 4x-4z=0

，
令z=3，得x=3，y=

3

，則平面PBC的一個法向量為

n

=（3，

3

，3），
設二面角A-PC-B的大小為θ，則cosθ=

n • DB

| n || DB |

=

7

7

．
∴二面角A-PC-B余弦值為

7

7

．

點評：本題考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，考查二面角，考查學生分析解決問題的能力，考查向量法的運用，確定平面的法向量是關鍵．