Question

如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，其母線(xiàn)與底面所成的角為60°，AB過(guò)底面圓心O點(diǎn)，且∠CBA=60°．
（Ⅰ）試在圓0上找一點(diǎn)D，使得BD與平面PAC平行；
（Ⅱ）二選一：（兩題都做，按第一題的解答給分）
    ①求直線(xiàn)PB與面PAC所成的角的正弦值
    ②二面角B-PA-C的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）D點(diǎn)是C點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．證明DB∥AC，可得BD與平面PAC平行；
（Ⅱ）①利用V_P-ABC=V_B-APC，求出dB=

OP•S△ABC

S△PAC

，從而可求直線(xiàn)PB與面PAC所成的角的正弦值；
②取PA中點(diǎn)H，連BH，則BH⊥PA，從而可求二面角B-PA-C的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）D點(diǎn)是C點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
證明如下：連DA、DB，由條件可得ABCD是矩形，
則DB∥AC，
因?yàn)锳C?面PAC，BD?面PAC，
所以BD∥面PAC…（5分）
（Ⅱ）①不妨設(shè)OA=R，則PA=PB=PC=2R．
由條件可知PO⊥面ABC，
在△PAC中，PA=PC=2R，AC=

3

R，則△PAC面積為

39

4

R2，
又S_△ABC=

3 R2

2

|OP|=

3

R
因?yàn)閂_P-ABC=V_B-APC，所以dB=

OP•S△ABC

S△PAC

=

2 39

13

R…（4分）
設(shè)直線(xiàn)PB與面PAC所成的角大小為θ，則sinθ=

dB

|PB|

=

39

13

②取PA中點(diǎn)H，連BH，則BH⊥PA…（4分）
設(shè)二面角B-PA-C的大小為θ，sinθ=

dB

|PH|

=

2 13

13

…（4分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面平行，考查線(xiàn)面角，面面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．