Question

設(shè)函數(shù)g（x）=3^x，h（x）=9^x
（1）解方程x+log3[2g（x）-8]=log3[h（x）+9]；
（2）令p（x）=

g(x)

g(x)+ 3

，計(jì)算：p（

1

2014

）+p（

2

2014

）+…+p（

2013

2014

）；
（3）若f（x）=

g(x+1)+a

g(x)+b

=

3x+1+a

3x+b

是奇函數(shù)，當(dāng)x≥1時(shí)，滿足f[h（x）-1]+f[2kg（x）]＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）代入利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得（3^x）²-8•3^x-9=0，因式分解為（3^x-9）（3^x+1）=0，再利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解出即可．
（2）由于p（x）=

g(x)

g(x)+ 3

=

3x

3x+ 3

，可得p（x）+p（1-x）=1，即可得出．
（3）f（x）=

g(x+1)+a

g(x)+b

=

3x+1+a

3x+b

是奇函數(shù)，利用f（0）=0，f（-1）=-f（1），解得a，b．可得f（x）=

3x+1-3

3x+1

=3-

6

3x+1

．于是f[h（x）-1]+f[2kg（x）]=f（9^x-1）+f（2k•3^x）=3-

6

39x-1+1

+3-

6

32k•3x+1

，f[h（x）-1]+f[2kg（x）]＞0恒成立?6＞

6

39x-1+1

+

6

32k•3x+1

恒成立，化為32k•3x+9x-1＞1，可得9^x+2k•3^x-1＞0，分離參數(shù)解出即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)g（x）=3^x，h（x）=9^x，
∴方程x+log₃[2g（x）-8]=log₃[h（x）+9]即x+log3[2×3x-8]=log3(9x+9)；
化為3^x（2×3^x-8）=3^2x+9，∴（3^x）²-8•3^x-9=0，
因式分解為（3^x-9）（3^x+1）=0，
∴3^x=9，解得x=2．
經(jīng)過驗(yàn)證滿足原方程，∴方程的解為x=2．
（2）p（x）=

g(x)

g(x)+ 3

=

3x

3x+ 3

，
∴p（x）+p（1-x）=

3x

3x+ 3

+

31-x

31-x+ 3

=

3x

3x+ 3

+

3

3 +3x

=1，
∴p（

1

2014

）+p（

2

2014

）+…+p（

2013

2014

）=

1

2

{[p（

1

2014

）+p（

2013

2014

）]+…+[p（

2013

2014

）+p(

1

2014

)]}
=

1

2

×2014=1007．
（3）∵f（x）=

g(x+1)+a

g(x)+b

=

3x+1+a

3x+b

是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1），
∴3+a=0，

1+a

3-1+b

=-

9+a

3+b

，
解得a=-3，b=1．
∴f（x）=

3x+1-3

3x+1

=3-

6

3x+1

．
f[h（x）-1]+f[2kg（x）]=f（9^x-1）+f（2k•3^x）=3-

6

39x-1+1

+3-

6

32k•3x+1

，
f[h（x）-1]+f[2kg（x）]＞0恒成立?6＞

6

39x-1+1

+

6

32k•3x+1

恒成立，
化為32k•3x+9x-1＞1，
∴9^x+2k•3^x-1＞0，
化為k＞

1-9x

2•3x

=

1

2

(3-x-3x)，
∵x≥1，∴

1

2

(3-x-3x)≤

1

2

×(

1

3

-3)=-

4

3

，
∴k＞-

4

3

．
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-

4

3

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡與求值、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．