Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的拋物線C過(guò)點(diǎn)E(2，2

2

)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為D，求四邊形OADB的面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)拋物線方程y²=2px，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)求得p，則拋物線方程可求；
（2）設(shè)出直線AB的方程為x=ky+1，聯(lián)立直線與拋物線方程，化為關(guān)于y的一元二次方程后由根與系數(shù)關(guān)系求得三角形AOB的面積，由對(duì)稱性把四邊形OADB的面積轉(zhuǎn)化為三角形AOB的面積，則四邊形的面積最小值可求．

解答： 解：（1）依題意設(shè)拋物線C的方程為：y²=2px，
∵點(diǎn)E(2，2

2

)在拋物線上，∴(2

2

)2=2p×2
解得p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）由（1）知 F（1，0），則可設(shè)直線AB的方程為：x=ky+1，
由

x=ky+1 y2=4x

，消去y得：y²-4ky-4=0．
△=（4k）²-4×1×（-4）=16k²+16＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4，S△AOB=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

(4k)2+16

=2

k2+1

，
∵點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為D，
∴S_△AOB=S_△ADB，
故S四邊形OADB=2S△AOB=4

k2+1

，
∴當(dāng)k=0時(shí)，S_{四邊形OADB}有最小值4，
∴四邊形OADB的面積的最小值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，這是處理這類問(wèn)題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是高考試卷中的壓軸題．