Question

7．函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{a}$（1-x），其中a＞0，記f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值為g（a），則函數(shù)g（a）的最小值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 把函數(shù)變形為f（x））=（a-$\frac{1}{a}$）x+$\frac{1}{a}$，分三種情況：a＞1；a=1；0＜a＜1進(jìn)行討論，由一次函數(shù)單調(diào)性即可求得g（a），據(jù)g（a）特征可求其最小值．

解答 解：f（x）=ax+$\frac{1}{a}$（1-x）=（a-$\frac{1}{a}$）x+$\frac{1}{a}$，
（1）當(dāng)a＞1時(shí)，a＞$\frac{1}{a}$，f（x）是增函數(shù)，
∴f（x）在[0，1]的最大值為f（1）=a，∴g（a）=a；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1，∴g（a）=1；
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a-$\frac{1}{a}$＜0，f（x）是減函數(shù)，
f（x）在[0，1]上的最大值為f（0）=$\frac{1}{a}$，∴g（a）=$\frac{1}{a}$，
所以g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}，0＜a＜1}\\{1，a=1}\\{a，a＞1}\end{array}\right.$，
因此g（a）最小值為1，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)最值的求法，考查分類討論思想，屬中檔題．