Question

如圖，為多面體，平面與平面垂直，點(diǎn)在線段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形。

（Ⅰ）證明直線∥；

（II）求棱錐F—OBED的體積。

 

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）

【解析】第一問中運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理，可以求證線線平行，結(jié)合了三角形的中位線定理。第二問中，求解棱錐的體積問題，一般就是求解底面積和高即可。先建立空間直角坐標(biāo)系，然后表示三角形的面積，，，結(jié)合向量的關(guān)系式得到體積公式。

解：

    （I）（綜合法）

    證明：設(shè)G是線段DA與EB延長線的交點(diǎn). 由于△OAB與△ODE都是正三角形，所以

    OB∥1/2DE，OB =1/2DE，OG=OD=2，

    同理，設(shè)G’是線段DA與線段FC延長線的交點(diǎn)，有OG’=OD=2

    又由于G和G’都在線段DA的延長線上，所以G與G’重合.

    在△GED和△GFD中，由 OB∥1/2DE，OB =1/2DE和OC∥1/2DF，OC=1/2DF

可知B和C分別是GE和GF的中點(diǎn)，所以BC是△GEF的中位線，故BC∥EF.

    （向量法）

    過點(diǎn)F作FQAD，交AD于點(diǎn)Q，連QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，QE為X軸正向，QD為y軸正向，DF為z軸正向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

    由條件知

    則有

    所以即得BC∥EF.

   （II）解：由OB=1，OE=2，，而△OED是邊長為2的正三角形，故

      所以

    過點(diǎn)F作FQ⊥AD，交AD于點(diǎn)Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐F—OBED的高，且FQ=，所以