【題目】已知函數(shù).

1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

2)若為給定的常數(shù),且),記在區(qū)間上的最小值為,求證:.

【答案】1)①當(dāng)時(shí),無(wú)零點(diǎn);②當(dāng)時(shí),有一個(gè)零點(diǎn);③當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn);(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

1)根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù),并令求得極值點(diǎn).在極值點(diǎn)兩側(cè),判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),并求得最小值.結(jié)合當(dāng)時(shí)函數(shù)值特征,即可確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2)根據(jù),可得.進(jìn)而確定的表達(dá)式,代入不等式化簡(jiǎn)變形,并令,構(gòu)造函數(shù),求得后由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷的單調(diào)性及最值,即可證明不等式成立.

1)函數(shù),

,解得,

當(dāng)時(shí),,所以為單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,所以為單調(diào)遞增;

所以,

當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí);

①當(dāng),即時(shí),無(wú)零點(diǎn);

②當(dāng),即時(shí),有一個(gè)零點(diǎn);

③當(dāng),即時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn);

2)證明:因?yàn)?/span>,

所以,

由(1)可知在區(qū)間上的最小值,

所以不等式可化為

,

移項(xiàng)化簡(jiǎn)可得,

所以

,

,則.

所以原不等式可化為,

.

,

所以單調(diào)遞減,

成立,

原不等式得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.B.C.D.

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