Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，且經(jīng)過點(diǎn)（

3

2

，1）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l過橢圓的上焦點(diǎn)，交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，已知

m

=（ax₁，by₁），

n

=（ax₂，by₂），若

m

⊥

n

，求直線l的斜率k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：

分析：（Ⅰ）利用離心率e=

3

2

，且經(jīng)過點(diǎn)（

3

2

，1），建立方程，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)l：y=kx+

3

，代入橢圓方程，利用向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，且經(jīng)過點(diǎn)（

3

2

，1），
∴

c

a

=

3

2

，

1

a2

+

3 4

b2

=1，
∴a=2，b=1，
∴橢圓的方程為

y2

4

+x2=1；
（Ⅱ）設(shè)l：y=kx+

3

，代入橢圓方程，可得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0，
∴x₁+x₂=-

2 3 k

k2+4

，x₁x₂=-

1

k2+4

，
∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=（k²+4）x₁x₂+

3

k（x₁+x₂）+3
=(k2+4)(-

1

k2+4

)+

3

k•(

-2 3 k

k2+4

)+3=0，
解得k=±

2

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，屬于中檔題．